第1回：和の法則と積の法則｜「どっちか」ならたし算，「どっちも」ならかけ算

場合の数で，多くの子どもがつまずきやすいのが「和の法則」と「積の法則」です。

■ 普通の説明だけでは，腑に落ちないことがある

普通は，
「または」は和の法則。
「かつ」は積の法則。
と説明されます。

高校では，
同時に起こらない場合は和の法則。
同時に起こる場合は積の法則。
と説明されることもあります。

もちろん，どちらも間違いではありません。

でも，それだけでは何となく腑に落ちない子もいます。

特に和の法則と積の法則は，
その区別があいまいなままだと，
あとから場合の数全体が分かりにくくなります。

■ まずは，場面で考える

だから私は，最初から法則を教えるのではなく，
まず具体的な場面で考えてもらいます。

ワイシャツが3色，セーターが2色あります。

A君は，ワイシャツもセーターも，両方着ます。
B君は，服がゴワゴワするのが嫌なので，
ワイシャツかセーターのどちらか1枚しか着ません。

二人の服の着こなし方は，それぞれ何通りでしょうか。

■ A君は，どっちも着る

A君について，私は先に
「これはかけ算です」
とは言いません。

まず，
「A君は何通り？」
と聞きます。

6通りという答えは簡単に出ます。

そこで，
「その6通りは，どんな計算で出した？」
と聞きます。

3×2＝6
です。

では，なぜ3＋2ではないのでしょうか。

A君は，ワイシャツを選び，セーターも選びます。
2つのことが，どっちも起こるからです。

だから，かけ算になります。

■ B君は，どっちかだけ着る

一方，B君は服がゴワゴワするのが嫌なので，
ワイシャツかセーターのどちらかしか着ません。

ワイシャツを着る場合は3通り。
セーターを着る場合は2通り。

答えは5通り。

計算にすると，
3＋2＝5
です。

では，なぜ3×2ではないのでしょうか。

B君は，ワイシャツか，セーターか。
2つのことのうち，どっちかが起こるからです。

だから，たし算になります。

■ ここがポイント

どっちも起こるなら，かけ算。
どっちかが起こるなら，たし算。

これが，和の法則と積の法則の根本的な違いです。

■ コートが増えたらどうなるか

さらに，コートが2種類増えたらどうでしょうか。

A君は，ワイシャツも，セーターも，コートも着ます。

3つのことが，どれも起こるので，
3×2×2＝12通り
です。

では，B君はどうでしょうか。

コートが増えても，B君はやはり服がゴワゴワするのが嫌です。

そのため，着るのは1枚だけです。

ワイシャツか。
セーターか。
コートか。

3つのことのうち，どれかが起こるので，
3＋2＋2＝7通り
です。

2つなら，
どっちも起こるか。
どっちかが起こるか。

3つ以上なら，
どれも起こるか。
どれかが起こるか。

こう整理すると，
和の法則と積の法則はかなり見分けやすくなります。

■ 例題の設定にも理由があります

ちなみに，この例題の設定にも理由があります。

もし，最初の設定で，
ワイシャツが3色。
ズボンが2本。

としてしまうと，B君のケースで，
「ワイシャツかズボンのどちらかしか着ません」
という，おかしな状況が生まれてしまいます。

ズボンをはかずに外出する人が出てきてしまうからです。

そうなると，子どもは数学ではないところが気になってしまいます。

だから今回は，重ね着ができる「ワイシャツとセーター」にしました。

また，A君には特別なキャラクターを付けていません。
A君は，普通に服を重ねて着る人です。

その方が，B君の「ゴワゴワするのが嫌なので1枚しか着ない」
という設定が分かりやすくなります。

例題では，目立たせるところを1つに絞ることも大切です。

■ 覚える前に，わかる

私は，言葉を丸暗記する前に，

「なぜたすのか」
「なぜかけるのか」

を一緒に整理する授業を大切にしています。

場合の数が苦手。
数学の文章題で手が止まる。
解き方は覚えたのに応用できない。

「できない」のではなく，
まだ整理のしかたを教わっていないだけかもしれません。

体験レッスンで，一緒に原因を整理してみましょう。