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中学校で初めて学ぶ「正負の数」。
正負の数を，時間の前後や気温の上がり下がりで
説明する方法もあります。
たとえば，
3時間後を ＋3，
2時間前を −2
と表す考え方です。
もちろん，正の数と負の数を初めてイメージする時には，
分かりやすい説明です。
ただし，その説明だけでは，かけ算やわり算を学ぶときに，
考え方をそのまま使い続けることが難しくなります。
私は，説明の継続性を大切にしています。
新しい単元を学ぶたびに，
まったく別の考え方に切り替えるのではなく，
これまで学んだことを土台にして，
次の内容へ自然につながる説明をしたいと考えています。
そのため，私は正負の数を矢印で説明します。
矢印なら，たし算やひき算だけでなく，
この後に学ぶかけ算やわり算，
さらには，座標，ベクトルなどにも，
同じ考え方をつなげていくことができます。
なお，記事の最後に，実際のレッスンの
スクリーンショットを掲載しています。
■ ＋3 と −3 を矢印で表す
まず，＋3 を考えます。
＋3 は，0より3大きい数です。
そこで，0を矢印の始まりにして，
＋3 のところに矢の先端が来るようにかきます。
つまり，＋3 は，0から右に3進む矢印です。
次に，−3 を考えます。
−3 は，0より3小さい数です。
そこで，0を矢印の始まりにして，
−3 のところに矢の先端が来るようにかきます。
つまり，−3 は，0から左に3進む矢印です。
ここで大切なのは，
「プラスだから右」
「マイナスだから左」と
丸暗記することではありません。
＋3 は，0より3大きいから，0から ＋3 へ向かう矢印。
−3 は，0より3小さいから，0から −3 へ向かう矢印。
こう考えると，正負の数の向きが自然に見えてきます。
■ たし算は，矢印をつぎたすこと
中学校で新しく習うことが，
小学校で習ったことを否定したり，
矛盾したりするようではいけません。
中学校で学ぶ内容も，小学校で学んだことを土台にして，
そこから考え方を広げていく必要があります。
そこで，まずは小学校で習った
たし算を数直線で表すとどうなるかを，
子どもに考えてもらいます。
たとえば，
3＋2＝5
を数直線で表すと，どうなるでしょうか。
子どもと一緒に考えていくと，
0から右に3進み，その先から，さらに右に2進む
と表せることが分かります。
つまり，3＋2 は，
右向き3の矢印の先端（あたま）に，
右向き2の矢印の始まり（おしり）をつぎたすことです。
正負の数のたし算も，これと同じです。
大事なのは，たし算を
今ある矢印の先端（あたま）に，
次の矢印の始まり（おしり）をつぎたすこと
と見ることです。
■ （＋3）＋（＋2） 【正の数 たす 正の数】
まず，右向き3の矢印を原点に置きます。
その矢印のあたまに，
右向き2の矢印のおしりをつぎたします。
右へ3進み，さらに右へ2進むので，
最後の矢印の先端は ＋5 に着きます。
つまり，
（＋3）＋（＋2）＝＋（3＋2）＝＋5
です。
右向きの矢印に，さらに右向きの矢印をつぎたすと，
矢印はさらに右へ伸びていきます。
■ （−3）＋（−2） 【負の数 たす 負の数】
まず，左向き3の矢印を原点に置きます。
その矢印のあたまに，
左向き2の矢印のおしりをつぎたします。
左へ3進んで，さらに左へ2進むので，
最後の矢印の先端は −5 に着きます。
つまり，
（−3）＋（−2）＝−（3＋2）＝−5
です。
左向きの矢印に，さらに左向きの矢印をつぎたすと，
矢印は左へ伸びていきます。
■ 同じ符号どうしのたし算
ここまでを見ると，
同じ符号どうしのたし算では，矢印の向きがそろっています。
右向きと右向きなら，さらに右へ進みます。
左向きと左向きなら，さらに左へ進みます。
つまり，向きはそのままで，
矢印の長さがたされます。
だから，
同符号の和は，
同じ符号をつけて，
絶対値の和を求める
という規則になります。
たとえば，
（＋3）＋（＋2）＝＋（3＋2）＝＋5
（−3）＋（−2）＝−（3＋2）＝−5
です。
最初に規則を覚えさせるのではなく，
矢印を見ながら考えると，
なぜこの規則になるのかが分かります。
■ （＋3）＋（−2） 【正の数 たす 負の数】
次に，符号が違う場合を考えます。
まず，右向き3の矢印を原点に置きます。
その矢印のあたまに，
左向き2の矢印のおしりをつぎたします。
右へ3進んだあと，左へ2戻るので，
右向きが1だけ残ります。
だから，最後の矢は ＋1 に着きます。
つまり，
（＋3）＋（−2）＝＋（3−2）＝＋1
です。
右向き3の方が，左向き2より長いので，
答えはプラスになります。
■ （−3）＋（＋2） 【負の数 たす 正の数】
まず，左向き3の矢印を原点に置きます。
その矢印のあたまに，
右向き2の矢印のおしりをつぎたします。
左へ3進んだあと，右へ2戻るので，
左向きが1だけ残ります。
だから，最後の矢は −1 に着きます。
つまり，
（−3）＋（＋2）＝−（3−2）＝−1
です。
左向き3の方が，右向き2より長いので，
答えはマイナスになります。
■ 違う符号どうしのたし算
符号が違うたし算では，
矢印が反対向きになります。
右向きと左向きなら，打ち消し合う。
左向きと右向きでも，打ち消し合う。
だから，最後に残るのは，
長い方の矢印の向きです。
そして，残る長さは，
2つの矢印の長さの差です。
つまり，
異符号の和は，
絶対値の大きい方の符号をつけて，
絶対値の差を求める。
ただし，絶対値が同じ場合は，
（＋3）＋（−3）＝0
になります。
右向き3の矢印と左向き3の矢印が，
ちょうど打ち消し合うからです。
■ 規則は，理解した後に使えばよい
ここまで，矢印を使って，
正負の数のたし算がなぜその答えになるかを考えてきました。
大切なのは，毎回いつまでも
矢印を書き続けることではありません。
まずは一度，なぜその規則になるのかを理解して，
納得することです。
納得した後は，規則を覚えて使えばよいのです。
そのあとは，
毎回理由や手順を考えなくても，
すぐに答えを出せるようになるまで練習します。
■ まとめ
正負の数のたし算は，
小学校で学んだたし算と別のものではありません。
正負の数のたし算は考え方を広げただけです。
符号だけを見てルールで処理するより，
矢印をつぎたすと考えると分かりやすくなります。
＋3 は，0より3大きいから，
0から ＋3 へ向かう右向きの矢印。
−3 は，0より3小さいから，
0から −3 へ向かう左向きの矢印。
そして，たし算では，
今ある矢印のあたまに，次の矢印のおしりをつぎたす。
これが基本です。
私は，説明の継続性を大切にしています。
小学校で学んだことを土台にして，
中学校，高校へと，
同じ考え方で学び続けられる説明を心がけています。
一人ひとりの理解の仕方に合わせて，
小学校の内容まで戻りながら説明できることは，
家庭教師ならではの強みだと考えています。
また，一度理由を理解して納得する。
その後は，規則を覚え，何度も練習する。
そして，理由や手順を一つ一つ考えなくても，
見た瞬間，手が勝手に動き始めるまで練習する。
これが，私が数学を教えるときに大切にしていることです。
■ ある日の実際のレッスン
以下は，実際のレッスンで正負の数のたし算を説明した時の画面です。
その場で書きながら説明しているため，
字はあまりきれいではありませんが，
実際のレッスンの雰囲気をご覧いただければと思います。
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