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■ たすき掛けは，因数分解だけではない
第4回では，
計算は，係数だけを見ると速くなる
という話をしました。
文字も含めて全部追いかけるのではなく，
同じ形を見つけて，
係数だけを見る。
今回は，その見方を
たすき掛けにも使います。
たすき掛けというと，
因数分解で使うもの，
と思っている人が多いかもしれません。
でも，じょん先生は，
たすき掛けを因数分解だけの道具とは考えていません。
展開を教える時点で，すでにたすき掛けの見方を入れます。
なぜなら，展開のときに
真ん中の係数がどう作られるかを見ておくと，
因数分解に入ったときに，
式を逆にたどりやすくなるからです。
■ 展開の時点で，たすき掛けを見る
たとえば，
(2x−5y)(3x＋4y)
を考えます。
普通に展開すると，
(2x−5y)(3x＋4y)
＝2x×3x＋2x×4y−5y×3x−5y×4y
＝6x²＋8xy−15xy−20y²
＝6x²−7xy−20y²
となります。
もちろん，これで正しいです。
でも，じょん先生はここで終わりません。
この展開をするときに，
最初から係数だけを見せます。
(2x−5y)(3x＋4y)
なら，
x² の係数は，
y² の係数は，
そして，真ん中の xy の係数は，
見るのは，
2 −5
3 4
です。
まず，両端の係数を見ます。
x² の係数は，
2×3＝6
y² の係数は，
(−5)×4＝−20
そして，真ん中の xy の係数は，
斜めにかけたものを合わせます。
2×4＝8
(−5)×3＝−15
だから，
8＋(−15)＝−7
となります。
ここで大事なのは，
真ん中の係数 −7 は，8 と −15 を合わせて作られている
ということです。
これが，たすき掛けの見方です。
■ 因数分解は，展開を逆にたどる
多くの場合，たすき掛けは，
因数分解に入ってから急に出てきます。
たとえば，
6x²−7xy−20y²
を因数分解しなさい，
という問題になってから，
「たすき掛けを使いましょう」
と言われます。
でも，生徒にとっては，
ここで急に新しい道具が出てきたように感じることがあります。
だから，じょん先生は，
その前の展開の段階で見せておきます。
(2x−5y)(3x＋4y)
を展開するときに，
2 −5
3 4
と係数を並べて，
2×4＝8
(−5)×3＝−15
だから，
8−15＝−7
真ん中の係数は −7 になる。
こう見せておくのです。
そうすると，因数分解に入ったときに，
6x²−7xy−20y²
を見ても，
「あ，これはさっきの展開を逆にたどるんだ」
と考えやすくなります。
6x² は，
2x と 3x から来たかもしれない。
−20y² は，
−5y と 4y から来たかもしれない。
真ん中の −7xy は，
8xy−15xy から来たかもしれない。
こう考えられます。
つまり，因数分解は，
展開を逆にたどる計算です。
展開の時点でたすき掛けを見ておくと，
因数分解がただの暗記ではなくなります。
■ ここでも，係数だけを見る
第4回と同じです。
ここでも大事なのは，
文字を全部追わないこと
です。
もちろん，最初のうちは，
途中式を書いて確認してもかまいません。
でも，慣れてきたら，
見る場所をしぼります。
(2x−5y)(3x＋4y)
なら，
x² の係数は，2×3。
xy の係数は，2×4＋(−5)×3。
y² の係数は，(−5)×4。
このように見ます。
これは，途中式を雑に省くということではありません。
見るべきところを見る
ということです。
係数を見る。
同じ形を見る。
真ん中の係数を見る。
この見方ができると，
展開も因数分解も，かなり楽になります。
■ まとめ
たすき掛けは，
因数分解だけの道具ではありません。
展開の段階から，
真ん中の係数をどう作るか
を見るためにも使えます。
展開でこの見方をしておくと，
因数分解はぐっと分かりやすくなります。
次回は，正負の数に戻ります。
正負の数のかけ算を，
符号の丸暗記だけでなく，
向きのルールとして考えていきます。
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