第4回：計算は，係数だけを見ると速くなる｜全部展開しなくても，答えに行ける

■ 3x＋2xを，どう計算していますか

高校生の皆さん。

いきなりですが，

3x＋2x

を，どのように計算しますか。

「3x たす 2x イコール 5x」

と考えたあなた。

もしかすると，計算に
少し時間がかかっているかもしれません。
途中で符号ミスや書き写しミスをすることも，
少なくないかもしれません。

一方で，

「3 たす 2 で，5x」

と考えたあなた。

かなり速く計算できていると思います。
しかも，あまり計算ミスをしないはずです。

違いは，どこにあるのでしょうか。

前者は，
3x と 2x を，文字まで含めて見ています。

後者は，
x は同じ形だと見て，
係数の 3 と 2 だけを計算しています。

つまり，

3x＋2x

で本当に動かしているのは，
x ではありません。

動かしているのは，
前についている数字，つまり係数です。

だから，

3x＋2x
＝(3＋2)x
＝5x

と見ればよいのです。

文字はそのまま。
係数だけを見る。

これが，計算を速くする大事な見方です。

■ じょん先生は，式の見方から見る

学校や塾の先生も，
計算が速い先生ほど，
実は係数だけを見て計算していることが多いと思います。

ただ，先生自身にとっては，
それがあまりにも当たり前になっているため，
わざわざ言葉にして教えないことがあります。

3x＋2x を見たときに，
「3 たす 2 で，5x」
と見る。

長い式を見たときに，
文字を全部追いかけるのではなく，
同じ形を見つけて，係数だけを見る。

先生自身は，そうやって計算している。

でも，生徒も同じように見ているかどうか。
そこまでは，意外と見られていないことがあります。

じょん先生は，そこを見ます。

答えが合っているかどうかだけではなく，
その子が式のどこを見ているのか。

何を頭の中で処理しているのか。
どこで手が止まるのか。
どこでミスが起きやすいのか。

そこから見ます。

そして，

ここは書いた方がいい。
ここは係数だけを見ればいい。
ここは文字を全部追わなくていい。

というところから教えます。

計算が遅い子は，
努力していないのではありません。

見ている場所が多すぎるだけのことがあります。

まじめに全部書いているのに，
なぜか計算が遅い。
しかも，途中でよく間違える。

一方で，計算の速い子は，
途中式が少ないのに，答えが合っている。

これは，雑に計算しているからではありません。

見ている場所が少ないからです。

見る場所を減らす。
でも，書くべきところは書く。

この切り分けができると，
計算はかなり変わります。

■ 全部展開してから整理しなくてもよい

高校数学では，次のような式がよく出てきます。

(2x³−4x²＋3x−1)−(3x³−4x−1)

これを，すべて書き出すと，

(2x³−4x²＋3x−1)−(3x³−4x−1)
＝2x³−4x²＋3x−1−3x³＋4x＋1
＝−x³−4x²＋7x

となります。

もちろん，答えは合っています。

でも，毎回すべてを書き出してから
整理していると，
式が長くなるほど時間がかかります。

速く見るなら，係数だけを見ます。

まず，

3x³−4x−1

には，x² の項がありません。

だから，

3x³−4x−1
＝3x³＋0x²−4x−1

と見ます。

すると，

x³ の係数：2−3＝−1
x² の係数：−4−0＝−4
x の係数：3−(−4)＝7
定数項：−1−(−1)＝0

です。

だから，

−x³−4x²＋7x

と分かります。

ここで見ているのは，
文字そのものではありません。

見ているのは，

x³ の係数
x² の係数
x の係数
定数項

です。

文字を全部動かさず，
同じ形ごとに係数を見る。

これだけで，かなり計算が整理されます。

■ 省くところと，書くところを分ける

ここで大事なのは，
係数だけを見るというのは，
何でもかんでも頭の中で計算するという意味ではない，
ということです。

かと言って，
すべてを長々と書く必要もありません。

大事なのは，

省いてよいところを省き，書くべきところを書くこと

です。

たとえば，

A＝x²＋4x−3
B＝2x²−x＋4

のとき，

A＋B＋2(A−B)

を計算する問題を考えます。

もちろん，いきなり A や B を代入して
全部展開しても，答えは出せます。

でも，そのまま進めると，
式が長くなり，ミスもしやすくなります。

だから，まず A と B の形のまま整理します。

A＋B＋2(A−B)
＝A＋B＋2A−2B
＝3A−B

ここは，1行だけ途中式を書いた方が安全です。

ここを間違えてしまったら，
あとの努力がすべて無駄になるからです。

その後，

3A−B
＝3(x²＋4x−3)−(2x²−x＋4)

ここからは，係数だけを見ます。

x² の係数は，
3−2＝1

x の係数は，
12−(−1)＝13

定数項は，
−9−4＝−13

だから，
3A−B
＝x²＋13x−13

となります。

この問題で大事なのは，
最初から最後まで頭の中で処理することではありません。

まず，

A＋B＋2(A−B)
＝3A−B

という形に整理する。

ここは書く。

そのあと，
同じ形の係数を見て計算する。

ここは，全部を書き出さなくてもよい。

ミスしやすいところは書く。
同じ形をまとめるところは，係数だけを見る。

この切り分けができると，
計算は速くなります。
しかも，正確になります。

■ 途中式を書かないことが目的ではない

計算の速い子は，
途中式を書かない子ではありません。

書くべきところを書き，
省いてよいところを省いています。

たとえば，
符号が変わるところ。
かっこの前にマイナスがあるところ。
項が抜けているところ。
式全体の形を整理するところ。

こういうところは，
無理に頭の中で済ませる必要はありません。

むしろ，1行書いた方が安全です。

反対に，
同じ形のものをまとめるだけなら，
文字まで全部追いかける必要はありません。

係数だけを見れば十分です。

つまり，目指すのは，

途中式を全部省く計算

ではありません。

必要なところは書き，
省いてよいところは省く計算

です。

この区別ができているから，
速いのに合っているのです。

■ 高1・高2のうちに身につけたい

この見方は，
高校1年生や高校2年生のうちに身につけておくと，
その後の高校数学でかなり楽になります。

高1で展開や式の整理を学ぶときに，

文字を全部追わない。
同じ形を見つける。
係数だけを見る。

この習慣をつけておく。

それだけで，
計算の負担はかなり減ります。

もちろん，高校3年生にも役立ちます。

ただし，受験期に入ってから急に
今までの計算の型を全部変えるのは，
少し慎重に考えた方がよいと思います。

高3の場合は，
今までのやり方を否定するのではなく，
見直しや確認のための視点として使うのがよいでしょう。

■ 私自身も，いつからそうしていたかは分かりません

正直に言うと，
私自身も，学生時代からいつもそうやって計算していたかどうかは，
はっきり覚えていません。

何せ，家庭教師を始めたのが約30年前です。

たとえば，間違えた問題にしるしをつける
「ふす・ふね・ころも」という方法については，
昔使っていた問題集にその記号が残っています。

ですから，その方法がいつ頃，
自分の中で確立したのかは，
ある程度はっきり分かります。

でも，今回の

「係数だけを見る」

という計算の見方については，
いつからそうしていたのか，はっきり覚えていません。

もしかすると，
学生時代から自然にそうしていたのかもしれません。

あるいは，家庭教師として生徒さんの計算を見るようになってから，

「これは係数だけを見た方が速いな」

と意識するようになったのかもしれません（笑）。

ただ，今ははっきり言えます。

同じ形を見つけて，
係数だけを見る。

この見方があるだけで，
高校数学の計算はかなり楽になります。

■ まとめ

計算は，全部を展開してから整理するだけではありません。

同じ形を見つける。
文字はそのままにする。
係数だけを見る。

そして，ミスしやすいところは書く。

この切り分けができると，
計算は速くなります。
しかも，正確になります。

次回は，この見方をもう一歩進めます。

たすき掛けも，
文字ではなく係数だけで見る。

展開の段階から真ん中の係数を見ることで，
因数分解にもつながる考え方を扱います。

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