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から始まる校歌の大学『バカ田大学』、の隣にあるというワセダ、の系属校である早稲田中の2021年の問題を解いてみましょう。
いやいや、算数の問題のまえに、まずは、バカボンパパが、哲学科の首席として卒業した、名門 バカ田大学の校歌を聞きたい方は、こちらからどうぞ！
https://www.youtube.com/watch?v=2ANShK96Tok
バカ田大学は、1967年に脳加良吉（のうがよいきち）によって設立され、初代学長は馬鹿塚不二八夫（ばかつかふにゃお）、都の西北 早稲田のとなりに位置していた（いる？）大学です。
大学の学部編成は完璧には把握されていないようですが、考古学部、医学部、生物学科、社会学部（哲学科）、スケベ学部、サギ学部、マージャン学部、夢学部、のぞき部、中立学部などがあり、入学に必要な偏差値はなんと102！
バカ田大学には、おとなりの早稲田には存在しない医学部があり、附属病院もあるとのこと。手塚治虫の『ブラック・ジャック』の『アヴィナの島』に、「わしはバカ田大学で医学を学んだ‼︎!」という医者が登場し、医師免許をみせ、その免許証にはバカボンのパパにそっくりな人物の顔写真があるという、赤塚不二夫も手塚治虫も好きな私としてはなんとも言えない場面です。
https://www.akitashoten.co.jp/special/blackjack40/176
さて、バカ田大学の話はこのくらいにして、ここから本題に入りましょう。 今回は早稲田中の2021年の問題で、相似の問題になります。
問題
図の四角形 ABCD の面積が 63 ㎠ のとき、五角形 ABCEF の面積は 何 ㎠ ですか。 (2021年 早稲田中）
図形の問題では、補助線を引いて考えていくということが解くきっかけになることが多々あります。
この問題でも、下の図のように、辺 AD と辺 BC を延長し、その交点を G とします。 こうすることによって、三角形の相似が使えますよね。
相似な直角三角形たちの存在、さらにこの場合、合同な三角形があることにも気づかれたのではないでしょうか。
相似条件の一つで、中学受験で特によく使うのは、「2組の角がそれぞれ等しい」という相似条件です。
上の図から、三角形AGBと三角形CGDにおいて、
角AGB ＝ 角CGD （同じ角ですね。）
角BAG ＝ 角DCG ＝ 90°
２組の角がそれぞれ等しいので、三角形AGBと三角形CGDは相似になります。
相似比は、
AB：CD = ２：(２＋３) ＝ ２：５
となり、
面積比は、相似比 x 相似比となるので、この２つの三角形の面積比は、
三角形AGB：三角形CGD ＝ 2 x 2：5 x 5 ＝ 4：25
となります。
この面積比から、三角形AGBの面積を ④ 、三角形CGDの面積を ㉕ とおくと、四角形ABCDの面積は、
四角形ABCD ＝ 三角形CGD ー 三角形AGB ＝ ㉕ ー ④ ＝ ㉑
となる。 問題文から、四角形ABCDの面積は 63㎠ なので、
㉑ = 63
よって、
① = 63 ÷ 21 = 3
また三角形AGBと三角形EFDは合同なので、
三角形EFD = ④
ゆえに五角形ABCEFは、
五角形ABCEF = 四角形ABCD ー 三角形EFD = ㉑ ー ④ = ⑰
① = 3 より、
五角形ABCEF = ⑰ = 3 x 17 = 51 ㎠
となります。
いかがでしたか。
最初に辺を延長することと、相似な三角形において、面積比は、相似比 x 相似比になるということがポイントでした。
相似は、中学受験では頻出ですので、様々なタイプの問題で練習をして、得意な単元にしてください。
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